Родился 15 февраля 1927 года в городе Вологде в семье служащего. Русский. В детские годы жил в Виноградовском районе Архангельской области, учился в Березниковской средней школе и Соловецкой школе юнг Военно-Морского Флота.
В Военно-Морском Флоте с 1946 года. Окончил Высшее военно-морское училище. Член КПСС с 1953 года. Служил на Северном флоте.
Будучи старшим помощником командира дизельной подводной лодки «Б-67» проекта 611, 16 сентября 1955 года принимал непосредственное участие в первом пуске советской баллистической ракеты морского базирования «Р-11ФМ».
В 1957 году командовал дизельной подводной лодкой «С-146» проекта 613, на которой была успешно испытана первая советская морская крылатая ракета «П-5».
В 1964 году после окончания Военно-морской академии назначен командиром атомной подводной лодки «К-33» проекта 658.
С 1968 года — начальник штаба 31-й Краснознамённой дивизии подводных лодок Краснознамённого Северного флота. В этой должности в 1971 году принимал участие в походе на Северный полюс на борту ракетного подводного крейсера стратегического назначения.
С 1972 года по октябрь 1974 года командовал 19-й и 41-й дивизиями подводных лодок, а в октябре 1974 года был назначен на должность начальника штаба 11-й флотилии подводных лодок Краснознамённого Северного флота.
В начале 1976 года возглавил тактическую группу, состоящую из двух подводных лодок РПКСН «К-171» проекта 667-б (командир — капитан 1 ранга Э. Д. Ломов) и торпедной атомной подводной лодки «К-469» проекта 671 (командир — капитан 2 ранга В.С. Урезченко). В задачу этой группы входило — совершить переход без всплытия с Северного флота на Камчатку вокруг Южной Америки через Атлантический и Тихий океаны.
За успешное выполнение заданий командования и проявленные при этом мужество и отвагу указом Президиума Верховного Совета СССР от 25 мая 1976 года контр-адмиралу Коробову Вадиму Константиновичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 11416).
В 1976 году контр-адмиралу В. К. Коробову присвоено воинское звание «вице-адмирал», в том же году он назначается командующим 3-й флотилией подводных лодок Краснознамённого Северного флота.
В 1981—1985 годах В. К. Коробов — начальник штаба Краснознамённого Северного флота. С 1986 года по 1989 год — адмирал-инспектор Главной военной инспекции Министерства Обороны СССР.
С 1989 года адмирал В. К. Коробов — в запасе, а затем в отставке. Жил в городе Москве, где скончался 12 апреля 1998 года. Похоронен в Москве, на Троекуровском кладбище (участок 4).
